Các câu phân loại môn Toán trong đề thi vào lớp 10, môn Toán

Tiếp theo phần thứ nhất (Các bạn có thể xem phần 1 gồm 5 câu phân loại môn Toán tại đây, chúng ta lại đến với những câu phân loại tiếp theo trong đề thi vào lớp 10, năm học 2017-2018. \(\)

Câu phân loại môn Toán số 6 (Đề thi vào lớp 10, tỉnh Bình Định, ngày thi 14/06/2017)

Cho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng: \[\frac{{{a^5}}}{{bc}} + \frac{{{b^5}}}{{ca}} + \frac{{{c^5}}}{{ab}} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3}\]

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương: \[\frac{{{a^5}}}{{bc}} + abc \ge 2\sqrt {\frac{{{a^5}}}{{bc}}.abc} = 2{a^3}\]

Làm tương tự rồi cộng vế với vế, ta được bất đẳng thức: \[VT + 3abc \ge 2VP\]

(Ký hiệu VT là vế trái, VP là vế phải)

Chú ý rằng \(VP \ge 3abc\) (theo BĐT Cô si cho 3 số dương). Do đó \(VT \ge VP\), đpcm.

Câu phân loại môn Toán số 7 (Đề thi vào lớp 10, tỉnh Đăk Lăk, 2017-2018)

Cho hai số thực dương \(x, y\) thỏa mãn \(xy=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[M = {x^2} + {y^2} + \frac{3}{{x + y + 1}}\]

Hướng dẫn giải

Theo đề: \(xy = 1 \Rightarrow x + y \ge 2\). Đặt \(x + y = t\) \((t \ge 2)\), ta có:

\[M = {x^2} + {y^2} + \frac{3}{{x + y + 1}} = {x^2} + {y^2} + 2xy + \frac{3}{{x + y + 1}} = {\left( {x + y} \right)^2} + \frac{3}{{x + y + 1}} = {t^2} + \frac{3}{{t + 1}}\]

\[ \Rightarrow M – 5 = {t^2} + \frac{3}{{t + 1}} – 5 = \frac{{{t^3} + {t^2} – 5t – 2}}{{t + 1}} = \frac{{\left( {t – 2} \right)\left( {{t^2} + 3t + 1} \right)}}{{t + 1}}\]

\[ \Rightarrow M – 5 \ge 0\forall t \ge 2 \Rightarrow M \ge 5\]

Câu phân loại môn Toán số 8 (Đề thi vào lớp 10, tỉnh Nghệ An, năm học 2017-2018)

Giải phương trình: \[x + \frac{{2\sqrt 2 x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = 1\]

Hướng dẫn giải

Các bạn dễ bị bế tắc ngay từ cái nhìn đầu tiên. Đây là phương trình vô tỉ khá khó chịu vì đoán nghiệm không được, dùng bất đẳng thức cũng không ổn mà mới nhìn thì cũng chưa biết phải đặt ẩn phụ ở đâu. Thực ra cách làm khá đơn giản, các bạn cứ trâu bò chuyển vế và bình phương lên (Chú ý rằng đẻ phương trình có nghiệm thì \(0<x<1\)), khi đó các bạn sẽ ra được một phương trình bậc bốn đối xứng, tới đây thì giải như bình thường.

\[\begin{array}{l}
x + \frac{{2\sqrt 2 x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt 2 x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 1 – x \Leftrightarrow \frac{{8{x^2}}}{{{x^2} + 1}} = {\left( {x – 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow \frac{{8x}}{{{x^2} + 1}} = x + \frac{1}{x} – 2 \Leftrightarrow \frac{8}{{x + \frac{1}{x}}} = x + \frac{1}{x} – 2
\end{array}\]

Câu phân loại môn Toán số 9 (Đề thi vào lớp 10, tỉnh Hưng Yên, ngày thi 5/6/2017)

Cho hai số thực dương \(x, y\) thỏa mãn điều kiện \(x + y \le 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[P = \frac{2}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{35}}{{xy}} + 2xy\]

Hướng dẫn giải

Phân tích: Nếu bạn nào đã biết về phương pháp chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy chắc không còn xa lạ với bài toán này. Chú ý rằng 2 tác nhân gây ra P giảm là \(\frac{2}{{{x^2} + {y^2}}}\) và \(2xy\), bù lại giá trị \(\frac{{35}}{{xy}}\) làm P tăng rất mạnh, do đó ta có hướng giải như sau: \[\begin{array}{l}
\frac{2}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{2xy}} \ge \frac{8}{{{x^2} + {y^2} + 2xy}} \ge \frac{1}{2}\\
2xy + \frac{{32}}{{xy}} \ge 2\sqrt {64} = 16\\
\frac{2}{{xy}} \ge \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\end{array}\]

Cộng vế với vế các bất đẳng thức này lại ra được đáp án của bài toán.

Câu phân loại môn Toán số 10 (Đề thi vào lớp 10, tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2017-2018)

Cho \(x, y, z\) là 3 số thực không âm thỏa mãn \(x+y+z=1\). Chứng minh rằng: \[x + 2y + z \ge 4\left( {1 – x} \right)\left( {1 – y} \right)\left( {1 – z} \right)\]

Hướng dẫn giải

Bình luận: Một bài toán khá thú vị, đề bài rất đẹp, không dễ cũng không quá khó, đòi hỏi các bạn phải biết cách giảm biến dần, từ 3 biến về 2 hoặc 1 biến. Vai trò của y không giống như vai trò của x và z, vế trái thực chất là \(1+y\), còn vế phải các bạn dùng bất đẳng thức \(4ab \le {\left( {a + b} \right)^2}\) sẽ suy ra được một biến với \(y\).

\[\begin{array}{l}
VT = 4\left( {1 – y} \right)\left( {1 – x} \right)\left( {1 – z} \right) \le \left( {1 – y} \right){\left( {1 – x + 1 – z} \right)^2}\\
= \left( {1 – y} \right){\left( {1 + y} \right)^2} = \left( {1 + y} \right)\left( {1 – {y^2}} \right) \le \left( {1 + y} \right).1 = 1 + y = VP
\end{array}\]