Chào các bạn, như mình đã đề cập ở các phần trước, chúng mình muốn đạt điểm 10 môn Toán, chúng mình phải giải được câu phân loại trong đề thi vào lớp 10 môn Toán của các tỉnh thành phố. Câu này khó hơn hẳn các câu còn lại và thường chiếm 0,5 đến 1 điểm. Theo quan sát của bọn mình thì đa số các câu này sẽ là bất đẳng thức và chiếm 1 điểm :(, điều đáng buồn là đa số các bạn học sinh đều học không tốt mảng này. Không sao, chúng ta còn nhiều thời gian phải không ạ.
Tiếp tục chuyên đề này, chúng mình xin giới thiệu với các bạn 5 câu phân loại trong đề thi vào lớp 10, từ các tỉnh Vĩnh Phúc, Phú Thọ, Bắc Giang, Bắc Ninh và Hải Phòng. Nhưng trước hết, các bạn có thể tham khảo 2 phần trước:
\(\)

Cho các số thực \(x, y\), tìm giá trị lớn nhất của: \[P = \frac{{\left( {{x^2} – {y^2}} \right)\left( {1 – {x^2}{y^2}} \right)}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}{{\left( {1 + {y^2}} \right)}^2}}}\]

Hướng dẫn giải

Đề bài cho x và y là các số thực, tuy nhiên biểu thức P lại chỉ xuất hiện x và y ở các số mũ chẵn. Bạn có thể đặt \({x^2} = a,{y^2} = b\) và đưa về bài toán với 2 biến \(a, b\) là các số thực không âm.
Tuy nhiên sau khi làm xong bước này thì có vẻ như câu chuyện chưa kết thúc. Nhiều bạn sẽ gặp lúng túng ở việc tìm mối quan hệ giữa tử và mẫu. Hãy chú ý rằng bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, \(x, y\) là các số thực không âm, bạn nào khá có thể đoán được rằng \(P\) lớn nhất khi \(y=0\) (dự đoán \(y\) càng nhỏ thì \(P\) càng lớn. Vậy ý tưởng của ta là làm sao để giải quyết được mất \(y\).
\[\left( {{x^2} – {y^2}} \right)\left( {1 – {x^2}{y^2}} \right) = {x^2} – {y^2} – {x^4}{y^2} + {x^2}{y^4} \le {x^2}\left( {1 + {y^4}} \right) \le {x^2}{\left( {1 + {y^2}} \right)^2}\]
Do đó:
\[P \le \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} \le \frac{1}{4}\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 1\end{array} \right.\\y = 0\end{array} \right.\)


Giải phương trình: \[{\left( {{x^3} – 4} \right)^3} = {\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} + 4} \right)^2}\]

Hướng dẫn giải

Bài toán này sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, đưa về hệ phương trình. Với những bạn đã quen với phương pháp này rồi thì khi nhìn vào bài toán ta cũng đoán được ý tưởng của người ra đề ngay. Tuy nhiên với bạn nào chưa quen, chưa luyện tập nhiều thì mình đảm bảo đây sẽ là 1 bài toán rất khó dành cho các bạn, vì với bạn nào chưa quen thì thông thường các bạn phải biến đổi loạn xì ngậu lên mới ra được nhân tử \(x-2\). Có 1 lời giải rất ugly theo cách này, các bạn xem ở đây. Sau đó các bạn hãy so sánh với lời giải dưới đây nhé.
Đặt: \(a = \sqrt[3]{{{x^2} + 4}} \Rightarrow {a^3} = {x^2} + 4\)
Đặt: \(b = \sqrt {{x^3} – 4} \Rightarrow {x^3} = {b^2} + 4\)
Theo đề, ta có: \({b^6} = {\left( {{a^2} + 4} \right)^2} \Rightarrow {b^3} = {a^2} + 4\)
Do đó ta có hệ: \[\left\{\begin{array}{l}{a^3} = {x^2} + 4\\{b^3} = {a^2} + 4\\{x^3} = {b^2} + 4\end{array} \right.\]
Tới đây thì câu chuyện của chúng ta đơn giản hơn rất nhiều. Dễ thấy \(a, b, x là các số dương.\): Nếu \(a>b\) thì \({a^3} > {b^3} \Rightarrow {x^2} + 4 > {a^2} + 4 \Rightarrow x > a\), do đó \({x^3} > {a^3} \Rightarrow {b^2} + 4 > {x^2} + 4 \Rightarrow b > x\), do đó ta có \(a > b,x > a,b > x\), điều này là vô lý. Từ đó chỉ có \(a=b=x\) và ta được \({x^3} = {x^2} + 4\).


Cho các số thực dương \(a, b\) thỏa mãn \(2a + 3b \le 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[Q = \frac{{2002}}{a} + \frac{{2017}}{b} + 2996a – 5501b\]

Hướng dẫn giải

Ấn tượng đầu tiên cho bài toán này là những con số rất xấu dường như không liên quan gì tới nhau cùng với một giả thiết lệch lạc, tuy nhiên bạn nào đã biết về phương pháp chọn điểm rơi cho bất đẳng thức Cô si rồi thì làm bài toán này sẽ không khó khăn lắm. Trước hết để ý rằng đề cho \(2a + 3b \le 4\) nên dấu bằng thường xảy ra khi \(2a+3b=4\). Khi đó đẹp nhất là \(a = \frac{1}{2}\) và \(b=1\). Chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cô si, ta làm như sau:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2002}}{a} + 8008 \ge 8008\\\frac{{2017}}{b} + 2017b \ge 4034\\ – 2506\left( {2a + 3b} \right) \ge – 2506.4 = 10024\end{array} \right.\]
Cộng vế với vế các bất đẳng thức này được \(Q \ge 2018\), dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 1\end{array} \right.\)


Cho các số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 16\). Chứng minh rằng: \[\frac{1}{{3a + 2b + c}} + \frac{1}{{a + 3b + 2c}} + \frac{1}{{2a + b + 3c}} \le \frac{8}{3}\]

Hướng dẫn giải

Để làm được bài này, trước hết các bạn cần nắm được bất đẳng thức sau đây:
Với \(a, b\) là các số thực dương, ta có: \(\frac{1}{{a + b}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)\)
Với \(a, b, c\) là các số thực dương, ta có: \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}\]
Hay viết cách khác: \[\frac{1}{{a + b + c}} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\]
Đây đều là các bất đẳng thức cơ bản và hay sử dụng, vì thế bạn nào chưa biết nó thì hãy nghiên cứu về nó, và nghiên cứu cả các ứng dụng của nó trước đi nhé.
Trở lại bài toán, ta có:
\[\frac{1}{{3a + 2b + c}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{3a}} + \frac{1}{{2b + c}}} \right)\]
\[\frac{1}{{2b + c}} = \frac{1}{{b + b + c}} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = \frac{2}{{9b}} + \frac{1}{{9c}}\]
Do đó: \[\frac{1}{{3a + 2b + c}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{3a}} + \frac{2}{{9b}} + \frac{1}{{9c}}} \right) = \frac{1}{{12a}} + \frac{1}{{18b}} + \frac{1}{{36c}}\]
Làm tương tự rồi cộng vế với vế, ta được đáp án.


Cho 4 số thực dương \(x,y,z,t\) thỏa mãn \(x+y+z+t=2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[A = \frac{{\left( {x + y + z} \right)\left( {x + y} \right)}}{{xyzt}}\]

Hướng dẫn giải

Đa số các bạn khi gặp bài toán này sẽ có 1 cảm giác là “Bế tắc”. Cũng dễ hiểu thôi vì:

  • Bài toán có 4 biến \(x, y, z, t\)
  • Biểu thức \(A\) không đối xứng
  • Không dự đoán được dấu bằng xảy ra khi nào

Như vậy chúng ta phải khai thác bài toán kiểu gì? Các bạn hãy quan sát hướng giải sau:
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y + z + t \ge 2\sqrt {t\left( {x + y + z} \right)} \\x + y + z \ge 2\sqrt {z\left( {x + y} \right)} \\x + y \ge 2\sqrt {xy}\end{array} \right.\]
Nhân vế với vế 3 bất đẳng thức trên lại và chú ý rằng \(x + y + z + t = 2\), ta có:
\[2\left( {x + y + z} \right)\left( {x + y} \right) \ge 8\sqrt {xyzt\left( {x + y} \right)\left( {x + y + z} \right)} \Rightarrow \frac{{\left( {x + y + z} \right)\left( {x + y} \right)}}{{xyzt}} \ge 16\]
Dấu bằng xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = t\\x + y = z\\x = y\\x + y + z + t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\z = \frac{1}{2}\\ x = y = \frac{1}{4}\end{array} \right.\]


Các bạn thấy sao ạ? Đề thi vào lớp 10 thông thường mà độ khó của nó không kém gì so với đề thi vào lớp 10 THPT chuyên phải không ạ? Chúc các bạn trang bị đầy đủ các kiến thức tốt nhất để được 10 điểm trong kỳ thi sắp tới.
Hãy để lại phần comment bên dưới những nhận xét, câu hỏi hoặc tất tần tật mọi thứ liên quan đến toán nhé, chúng mình sẽ rất vui để trả lời với các bạn. Để chia sẻ bài viết này, các bạn chỉ cần viết vào comment và nhó đóng khung vào mục: “Cũng đăng lên facebook”. Hẹn gặp lại các bạn trong các bài viết tiếp theo 🙂