Trong đề thi vào lớp 10 Toán năm 2017-2018 vừa qua, chúng ta gặp rất nhiều câu phân loại trong đề thi của các tỉnh. Để đạt được điểm số tối đa, các bạn cần làm được các câu này. Sau đây chúng mình xin giới thiệu với các bạn một số câu phân loại do chúng mình chọn lọc được trong các đề thi vừa rồi. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích cho các bạn và các em học sinh tham khảo.
Do khuôn khổ bài viết có hạn, ở chuyên đề này chúng minh chia thành nhiều phần khác nhau, sẽ có link bên dưới mỗi phần trích dẫn tài liệu, mời các bạn tham khảo
\(\)

Câu 1 (Đề thi vào lớp 10, Hà Nội, ngày thi 9/6/2017)
Cho các số thực \(a, b, c\) thay đổi thỏa mãn \(a \ge 1,b \ge 1,c \ge 1\) và \(ab + bc + ca = 9\). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)

Gợi ý

  • Tìm Min: Chú ý rằng \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca = 9\)
  • Tìm Max: Vì \(a \ge 1,b \ge 1,c \ge 1\) nên ta có: \(\left( {a – 1} \right)\left( {b – 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow ab + 1 \ge a + b\)
    Làm tương tự rồi cộng về với về, ta chỉ ra được \(a + b + c \le 6\), bình phương 2 vế lên ra giá trị lớn nhất của \(P\) là 18, đạt được khi trong 3 số \(a, b, c\), có hai số bằng 1, số còn lại bằng 4.

Câu 2 (Đề thi vào lớp 10, Thanh Hóa, ngày thi 10/07/2017)
Cho \(a, b, c\) là các số dương thay đổi thỏa mãn \(\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}} = 2017\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[P = \frac{1}{{2a + 3b + 3c}} + \frac{1}{{3a + 2b + 3c}} + \frac{1}{{3a + 3b + 2c}}\]

Gợi ý

Chú ý rằng với \(x, y, z, t\) là các số thực dương, ta luôn có: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} \ge \frac{{16}}{{x + y + z + t}}\]
Do đó: \[\begin{array}{l}
\frac{1}{{2a + 3b + 3c}} = \frac{1}{{\left( {a + b} \right) + \left( {a + c} \right) + \left( {b + c} \right) + \left( {b + c} \right)}} \le \frac{1}{{16}}.\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right)
\end{array}\]
Làm tương tự rồi cộng vế với vế ra được đáp án.

Câu 3 (Đề thi vào lớp 10, Thái Bình)
Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Kéo dài AM cắt BC tại P, BM cắt CA tại Q, CM cắt AB tại K. Chứng minh rằng: \[MA.MB.MC \ge 8MP.MQ.MK\]

Gợi ý

đề thi vào lớp 10 Gọi diện tích các tam giác MBC, MCA và MAB lần lượt là \(a, b, c\). Dễ thấy: \[\frac{{MP}}{{MA}} = \frac{{{S_{MPB}}}}{{{S_{MAB}}}} = \frac{{{S_{MPC}}}}{{{S_{MAC}}}} = \frac{{{S_{MBC}}}}{{{S_{MAB}} + {S_{MCA}}}} = \frac{a}{{b + c}}\]
Làm tương tự rồi nhân vế với vế, ta được: \[\frac{{MP.MQ.MK}}{{MA.MB.MC}} = \frac{{abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \le \frac{1}{8}\]

Câu 4 (Đề thi vào lớp 10, Lạng Sơn)
Cho \(x, y, z\) là các số thực dương, thỏa mãn \(xy+yz+zx=xyz\). Chứng minh rằng: \[\frac{{xy}}{{{z^3}\left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)}} + \frac{{yz}}{{{x^3}\left( {1 + y} \right)\left( {1 + z} \right)}} + \frac{{zx}}{{{y^3}\left( {1 + z} \right)\left( {1 + x} \right)}} \ge \frac{1}{{16}}\]

Gợi ý

Từ giả thiết suy ra \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\)
Đặt \(\frac{1}{x} = a;\frac{1}{y} = b;\frac{1}{z} = c\)
Ta có: \[\frac{{xy}}{{{z^3}\left( {1 + x} \right)\left( {1 + y} \right)}} = \frac{{\frac{1}{{{z^3}}}}}{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)}} = \frac{{{c^3}}}{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)}}\]
Tới đây dùng phương pháp chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy:
\[\frac{{{c^3}}}{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)}} + \frac{{1 + a}}{{64}} + \frac{{1 + b}}{{64}} \ge \frac{3}{{16}}c\]
Làm tương tự rồi cộng vế suy ra điều phải chứng minh.

Câu 5 (Đề thi vào lớp 10, Hòa Bình, ngày thi 29/6/2017)
Cho các số thực dương \(a, b, c\) có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: \[\sqrt {\frac{a}{{1 – a}}} + \sqrt {\frac{b}{{1 – b}}} + \sqrt {\frac{c}{{1 – c}}} > 2\]

Gợi ý

Ta có: \[\sqrt {\frac{a}{{1 – a}}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{a\left( {1 – a} \right)}}} = \frac{a}{{\sqrt {a\left( {1 – a} \right)} }} \ge \frac{a}{{\frac{{a + 1 – a}}{2}}} = 2a\]
Làm tương tự rồi cộng vế với vế thu được điều phải chứng minh.

Do giới hạn của bài viết nên mình xin kết thúc bài này ở đây, tuy nhiên đây mới chỉ là phần 1 của chuyên đề này. Sẽ còn có tiếp những chuyên đề như vậy nữa trong các bài sắp tới, các bạn chú ý theo dõi nhé

Tham khảo:
Sử dụng đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp đồng bậc trong chứng minh bất đẳng thức