CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài này giới thiệu khái niệm cực đại, cực tiểu của hàm số và xét quan hệ giữa cực đại, cực tiểu với dấu của đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của hàm số. \(\)

1) Khái niệm cực trị của hàm số

ĐỊNH NGHĨA

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D \(\left( {D \subset R} \right)\) và \({x_0} \in D\).

a) \({x_0}\) được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng \(\left( {a;b} \right)\) chứa điểm \({x_0}\) sao cho \(\left( {a;b} \right) \subset D\) và

\(f(x) < f({x_0})\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\).

Khi đó \(f({x_0})\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.

b) \({x_0}\) được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng \(\left( {a;b} \right)\) chứa điểm \({x_0}\) sao cho \(\left( {a;b} \right) \subset D\) và

\(f(x) > f({x_0})\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\).

Khi đó \(f({x_0})\) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

Nếu \({x_0}\) là một điểm cực trị của hàm số \(f\) thì người ta nói rằng hàm số \(f\) đại cực trị tại điểm \({x_0}\) .

cực trị của hàm số

CHÚ Ý

  1. Giá trị cực đại (cực tiểu) \(f({x_0})\) của hàm số \(f\) nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số \(f\) trên tập \(D\); \(f({x_0})\) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số \(f\) trên một khoảng \((a;b)\) nào đó có chứa điểm \({x_0}\).

  2. Hàm số \(f\) có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp \(D\). Trên đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) trong hình 1.1, ta thấy hàm số có hai điểm cực tiểu và hai điểm cực đại. Hàm số cũng có thể không có cực trị trên một tập hợp số thực cho trước.

  3. Đôi khi người ta cũng nói đến điểm cực trị của đồ thị. Nếu \({x_0}\) là một điểm cực trị của hàm số \(f\) thì điểm \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\).

2) Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Quan sát đồ thị hàm số \(y = f(x)\) (h.1.1), ta thấy nếu hàm số \(f\) đạt cực trị tại điểm \({x_0}\) và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành, tức là \(f'({x_0}) = 0\).

Đó là nội dung của định lý mà ta thừa nhận sau đây:

ĐỊNH LÝ 1

Giả sử hàm số \(f\) đạt cực trị tại điểm \({x_0}\). Khi đó, nếu \(f\) có đạo hàm tại \({x_0}\) thì \(f'({x_0}) = 0\).

Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm \(f’\) có thể bằng 0 tại điểm \({x_0}\) nhưng hàm số \(f\) không đạt cực trị tại điểm \({x_0}\).

Chẳng hạn xét hàm số \(f(x) = {x^3}\), ta có \(f'(x) = 3{x^2}\) và \(f'(0) = 0\). Tuy nhiện, hàm số \(f\) không đạt cực trị tại điểm \(x=0\). Thật vậy, vì \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \ne 0\) nên hàm số \(f\) đồng biến trên \(R\) (h.1.2).

cực trị của hàm số

CHÚ Ý

Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Chẳng hạn, hàm số \(y = f(x) = \left| x \right|\) xác định trên \(R\). Vì \(f(0) = 0\) và \(f(x) > 0\) với mọi \(x \ne 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\).

Dễ thấy hàm số \(y = \left| x \right|\) không có đạo hàm tại điểm \(x=0\) (h.1.3).

Như vậy, một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó, đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

3) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

ĐỊNH LÝ 2

Giả sử hàm số \(f\) liên tục trên khoảng \((a;b)\) chứa điểm \(x_0\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó

a) Nếu \(f'(x) < 0\) với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại điểm\({x_0}\).

b) Nếu \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và \(f'(x) < 0\) với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số \(f\) đạt cực đại tại điểm\({x_0}\).

Nói một cách khác,

a) Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương khi \(x\) qua điểm \({x_0}\) (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\).

b) Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ dương sang âm khi \(x\) qua điểm \({x_0}\) (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm \({x_0}\).

Chứng minh:

a) Vì hàm số \(f\) liên tục trên nửa khoảng \((a;{x_0}]\) và \(f'(x) < 0\) với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) nên hàm số \(f\) nghịch biến trên \((a;{x_0}]\). Do đó

\(f(x) > f({x_0})\) với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\)

Tương tự, vì hàm số \(f\) liên tục trên nửa khoảng \([{x_0};b)\) và \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) nên hàm số \(f\) đồng biến trên \([{x_0};b)\). Do đó

\(f(x) > f({x_0})\) với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\)

Vậy \(f(x) > f({x_0})\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\), tức là hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\).

b) Phần b) được chứng minh tương tự.

Định lý 2 có thể được viết gọn lại trong 2 bảng biến thiên như sau:

cực trị của hàm số

Theo định lý 2, ta có quy tắc cực trị sau đây

QUY TẮC 1

  1. Tìm \(f'(x)\).

  2. Tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,…} \right)\)  tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.

  3. Xét dấu \(f'(x)\). Nếu \(f'(x)\) đổi dấu khi \(x\) qua điểm \({x_i}\) thì hàm số đạt cực trị tại \({x_i}\)

Có thể sử dụng đạo hàm cấp 2 để tìm cực trị của hàm số, người ta đã chứng minh được định lý sau đây:

ĐỊNH LÝ 3

Giả sử hàm số \(f\) có đạo hàm cấp một trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) chứa điểm \({x_0}\), \(f'({x_0}) = 0\) và \(f\) có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm \({x_0}\).

a) Nếu \(f”({x_0}) < 0\) thì hàm số \(f\) đạt cực đại tại điểm \({x_0}\).

b) Nếu \(f”({x_0}) > 0\) thì hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\).

Từ định lý 3 này có một quy tắc khác để tìm cực trị hàm số (nếu hàm số có đạo hàm cấp 2):

QUY TẮC 2

  1. Tìm \(f'(x)\).

  2. Tìm các nghiệm \({x_i}\left( {i = 1,2,3,…} \right)\) của phương trình \(f'(x) = 0\).

  3. Tìm \(f”(x)\) và tính \(f”(x_i)\). Nếu \(f”(x_i)<0\) thì hàm số đạt cực đại tại điểm \(x_i\). Nếu \(f”(x_i)>0\) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x_i\).

 

Như vậy là chúng ta đã xong phần lý thuyết rồi đấy các em ạ, các em có câu hỏi nào có thể sử dụng một trong 2 cách sau để gửi câu hỏi nhé:

  1. Cách 1: Gửi trực tiếp qua phần comment bên dưới (nhớ click vào ô vuông “cũng đăng lên facebook”) để nhận được thông báo mới nhất ngay khi có trả lời
  2. Cách 2: Gửi email tới địa chỉ: tuankietho113@gmail.com

Chúc các em ôn tập tốt.

Tham khảo:

Tính đơn điệu của hàm số

Đề minh họa kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2018, môn Toán