Trong kỳ thi học kỳ 1 toán 9 Hà Nội vừa qua (năm học 2017-2018), các chúng ta đã thấy được rất nhiều câu phân loại khó chiếm 0,5 đến 1 điểm. Các câu này thường dành cho các bạn học sinh muốn đạt điểm 10, đó là những bạn học sinh khá giỏi và các bạn học sinh muốn ôn thi vào trường thpt chuyên. Bài viết này chúng mình muốn giới thiệu với các bạn một số câu như vậy, phương pháp giải chúng và một số nhận xét về hướng giải cho các bạn tham khảo.
Tham khảo thêm chuyên đề:

\(\)

Cho các số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(x+y+z=1\). Chứng minh rằng: \[P = \frac{{5{y^3} – {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} + \frac{{5{z^3} – {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} + \frac{{5{x^3} – {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 1\]

Hướng dẫn giải

Biểu thức P là tổng của 3 phần, mỗi phần chỉ chứa 2 biến trong 3 biến \(x, y, z\) gợi cho chúng ta hướng làm: Viết \[\frac{{5{y^3} – {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} \le ax + by\], ta sẽ tìm \(a, b\).
Ta có: \[\frac{{5{y^3} – {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} \le ax + by \Leftrightarrow \left( {5{y^3} – {x^3}} \right) \le \left( {ax + by} \right)\left( {xy + 3{y^2}} \right)\]
\[5 – {t^3} \le \left( {at + b} \right)\left( {t + 3} \right)….t = \frac{x}{y}\]
Dự đoán P lớn nhất khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\), tức là \(t = 1,a + b = 1\), thay \(b=1-a\) vào ta có:
\[5 – {t^3} \le \left( {at + 1 – a} \right)\left( {t + 3} \right) \Leftrightarrow \left( {t – 1} \right)\left[ {{t^2} + \left( {a + 1} \right)t + 3a + 2} \right] \ge 0\]
Chọn \(a\) sao cho phương trình \({{t^2} + \left( {a + 1} \right)t + 3a + 2 = 0}\) có thể phân tích được thành nhân tử \(t-1\), dễ thấy \(a=-1\), khi đó \(b=2\). Ta có \[\frac{{5{y^3} – {x^3}}}{{xy + 3{y^2}}} \le – x + 2y\]
Làm tương tự rồi cộng vế với vế, bạn sẽ thu được điều phải chứng minh.

Cho các số thực \(x, y\) thỏa mãn \(\sqrt {x + 5} – {y^3} = \sqrt {y + 5} – {x^3}\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = {x^2} – 3xy + 12y – {y^2} + 2018\)

Hướng dẫn giải

Trước hết bạn cần khai thác giả thiết đề bài. Chú ý rằng khi chuyển \(x^3\) và \(y^3\) sang vế còn lại, ta được \({x^3} + \sqrt {x + 5} = {y^3} + \sqrt {y + 5} \), tới đây bạn cần phải đánh giá hai vế để giải thích được \(x=y\). Thật vậy, nếu \(x\) không bằng \(y\), chẳng hạn nếu \(x>y\) thì hiển nhiên \(x^3>y^3\) và \(\sqrt {x + 5} > \sqrt {y + 5} \), do đó hai vế của đẳng thức trên không thể bằng nhau.
Khi đã chỉ ra \(x=y\) rồi thì bài toán trở nên đơn giản.

Cho các số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(x + 2y + 3z \ge 20\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[A = x + y + z + \frac{3}{x} + \frac{9}{{2y}} + \frac{4}{z}\]

Hướng dẫn giải

Chọn điểm rơi, dự đoán dấu bằng xảy ra khi \(x=2, y=3, z=4\), ta có hướng giải như sau:
Áp dụng BĐT Cô Si:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{4} + \frac{3}{x} \ge 3\\\frac{y}{2} + \frac{9}{{2y}} \ge 3\\\frac{z}{4} + \frac{4}{z} \ge 2\end{array} \right.\]. Đồng thời chú ý rằng \[\frac{x}{4} + \frac{y}{2} + \frac{{3z}}{4} = \frac{{x + 2y + 3z}}{4} \ge \frac{{20}}{4} = 5\]
Cộng vế lại ta có lời giải bài toán.

Cho \(x>0, y>0\) và \(x+y \le \frac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[S = x + y + \frac{3}{{4x}} + \frac{3}{{4y}}\]

Hướng dẫn giải

Biểu thức S là một biểu thức đối xứng 2 biến với giả thiết cũng đối xứng. Ta dự đoán S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(x = y = \frac{2}{3}\). Bài toán đưa về việc sử dụng phương pháp chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy:
\[\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{4}{{9x}} \ge 2\sqrt {\frac{4}{9}} = \frac{4}{3}\\y + \frac{4}{{9y}} \ge 2\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{4}{3}\end{array} \right.\]
Lại có: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}} \ge 3\] suy ra \[\frac{{11}}{{36}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{{11}}{{36}}.3 = \frac{{11}}{{12}}\]
Cộng vế với vế các bất đẳng thức này lại ta có điều phải chứng minh.

Cho \(x>0, y>0\) thỏa mãn \(xy=6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[Q = \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{6}{{3x + 2y}}\]

Hướng dẫn giải

Nếu các bạn có ý định tách từng thành phần của biểu thức \(Q\) thì sẽ rất dễ lâm vào bế tắc. Chỉ cần chú ý điều sau là bài toán dễ dàng được giải quyết. \[Q = \frac{{3x + 2y}}{{xy}} + \frac{6}{{3x + 2y}} = \frac{{3x + 2y}}{6} + \frac{6}{{3x + 2y}}\]

Giải phương trình \[\sqrt {3x – 2} – \sqrt {x – 1} = 2{x^2} – x – 3\]

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x \ge \frac{2}{3}\)
Phương trình đã cho tương đương với: \[\frac{{\left( {3x – 2} \right) – \left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {3x – 2} + \sqrt {x + 1} }} = \left( {2x – 3} \right)\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow \frac{{2x – 3}}{{\sqrt {3x – 2} + \sqrt {x + 1} }} = \left( {2x – 3} \right)\left( {x + 1} \right)\]
Chú ý rằng \(\sqrt {3x – 2} + \sqrt {x + 1} \ge \sqrt {x + 1} > 1\), do đó \[\frac{1}{{\sqrt {3x – 2} + \sqrt {x + 1} }} < 1\]. Trong khi đó \(x+1>1\) nên phương trình có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{3}{2}\)

Cho \( 0 < x < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[M = \frac{x}{{1 – x}} + \frac{4}{x}\]

Hướng dẫn giải

Có nhiều cách giải quyết bài toán này, tuy nhiên với bài này mình khuyên các bạn nên chú ý một bổ đề như sau:
Cho \(a, b\) là các số thực dương và \(x, y\) là 2 số thực bất kỳ, ta luôn có \[\frac{{{x^2}}}{a} + \frac{{{y^2}}}{b} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\]. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b}\). Các bạn tự nghiên cứu và chứng minh bất đẳng thức này nhé.
Trở lại bài toán, ta có \[M + 1 = \frac{1}{{1 – x}} + \frac{4}{x} \ge \frac{{{{\left( {1 + 2} \right)}^2}}}{{1 – x + x}} = 9\]
Do đó \(M \ge 8\), dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{1}{{1 – x}} = \frac{2}{x}\), hay \(x = \frac{2}{3}\)

Cho các số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(\sqrt {xy} + \sqrt {yz} + \sqrt {zx} = 1\). Tìm giá tị nhỏ nhất của biểu thức: \[P = \frac{{{x^2}}}{{x + y}} + \frac{{{y^2}}}{{y + z}} + \frac{{{z^2}}}{{z + x}}\]

Hướng dẫn giải

Trước hết các bạn hãy chỉ ra \(P \ge \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\). Sau đó dựa vào bất đẳng thức \(x + y + z \ge \sqrt {xy} + \sqrt {yz} + \sqrt {zx} \) ta giải quyết được bài toán. Việc chứng minh bđt này, bạn có thể dùng bđt Cô Si hoặc bđt Svacxo, ví dụ áp dụng bđt cô si: \[\frac{{{x^2}}}{{x + y}} + \frac{{x + y}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{{x^2}}}{4}} = x\]
Cộng vế với vế các bất đẳng thức tương tự ta có điều phải chứng minh.

Tìm giá trị \(x, y\) thỏa mãn phương trình \[\frac{{36}}{{\sqrt {x – 2} }} + \frac{4}{{\sqrt {y – 1} }} = 28 – 4\sqrt {x – 2} – \sqrt {y – 1} \]

Hướng dẫn giải

Mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\) thông qua 1 phương trình trong khi bài toán yêu cầu tìm 2 ẩn nên 99% bài toán sẽ sử dụng bất đẳng thức. Bạn chuyển vế rồi sử dụng bđt cô si là ra.

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = x + \frac{9}{{x – 2}} + 2010\), với \(x>2\)

Hướng dẫn giải

Sử dụng bđt cô si: \(x – 2 + \frac{9}{{x – 2}} \ge 2\sqrt 9 = 6\), từ đó ta có điều phải chứng minh.

Cho các số thực dương \(x, y\) thỏa mãn \(x+y \le 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[P = \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} \]

Hướng dẫn giải

Dự đoán dấu bằng xảy ra khi \(x = y = \frac{1}{2}\). Mình nghĩ đa số các bạn sẽ gặp khó khăn khi giải quyết bài toán này vì bị khó ngay từ trong căn thức. \(\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} \) là đại lượng làm cho \(P\) nhỏ trong khi \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) là đại lượng làm cho \(P\) tăng rất mạnh. Chú ý rằng \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\). Ta có hướng giải quyết bài toán như sau: \[{P^2} = {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)^2}\left( {1 + {x^2}{y^2}} \right) = {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)^2} + {\left( {x + y} \right)^2}\]
Tới đây, dùng bđt \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\), ta đưa về bài toán 1 biến \({\left( {x + y} \right)^2}\): \[P \ge {\left( {\frac{4}{{x + y}}} \right)^2} + {\left( {x + y} \right)^2} = \frac{{16}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + {\left( {x + y} \right)^2}\]
Áp dụng bđt Cô si: \[\frac{1}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + {\left( {x + y} \right)^2} \ge 2\]\[\frac{{15}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \ge \frac{{15}}{1} = 15\]
Do đó \({P^2} \ge 17\) nên \(P \ge \sqrt {17} \)

Các bạn có câu hỏi hoặc thắc mắc gì có thể làm theo các cách sau:

  • Cách 1: Comment trực tiếp ở phần bình luận bên dưới (nhớ click vào ô vuông “Cũng đăng lên facebook” thì ngay khi bọn mình có phản hồi về, các bạn sẽ nhận được thông báo trên facebook)
  • Cách 2: Gửi câu hỏi về email: tuankietho113@gmail.com

Bọn mình sẽ nhiệt tình giúp các bạn. Chúc các bạn có 1 buổi học hiệu quả.

Tham khảo: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9, Thành phố Hà Nội, năm học 2016-2017