\(\)

Bài I (5,0 điểm)
                   1. Chứng minh \({{n}^{5}}+5{{n}^{3}}-6n\) chia hết cho 30 với mọi số nguyên dương \(n\).
                   2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((x;y)\) sao cho \({{x}^{2}}+8y\) và \({{y}^{2}}+8x\) là các số chính phương.
Bài II (5,0 điểm)
                   1. Giải phương trình \(\sqrt{2x-\frac{3}{x}}+\sqrt{\frac{6}{x}-2x}=1+\frac{3}{2x}\)
                   2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{\frac{4x}{5y}}=\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} \\ &\sqrt{\frac{5y}{x}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} \\ \end{align} \right.\)
Bài III (3,0 điểm)
                   Với các số thực không âm \(x,y,z\) thỏa mãn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2\).
                   1. Chứng minh \(x+y+z\le 2+xy\).
                   2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{x}{2+yz}+\frac{y}{2+zx}+\frac{z}{2+xy}\)
Bài IV (6,0 điểm)
                   Cho tam giác nhọn \(ABC\) \((BC>CA>AB)\) nội tiếp đường tròn \((O)\) và có trực tâm \(H\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BHC\) cắt tia phân giác của góc \(\widehat{ABC}\) tại điểm thứ hai \(M\). Gọi \(P\) là trực tâm tam giác \(BCM\).
                   1. Chứng minh bốn điểm \(A, B, C, P\) cùng thuộc một đường tròn.
                   2. Đường thẳng qua \(H\) song song với \(AO\) cắt cạnh \(BC\) tại \(E\). Gọi \(F\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(CF=BE\). Chứng minh ba điểm \(A, F, O\) thẳng hàng.
                   3. Gọi \(N\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABM\). Chứng minh \(PN=PO\).
Bài V (1,0 điểm)
                   Trên bàn có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Hai người A và B lần lượt mỗi người lấy một tấm thẻ trên bàn sao cho nếu người A lấy tấm thẻ đánh số \(n\) thì đảm bảo người B chọn được tấm thẻ đánh số \(2n+2\). Hỏi người A có thể lấy được nhiều nhất bao nhiêu tấm thẻ trên bàn thỏa mãn yêu cầu trên?

———–Hết———-