ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 Quận Thanh Xuân 2017-2018 \(\)
Bài 1: Cho \(A = \frac{{2x + 15\sqrt x + 18}}{{x + 3\sqrt x – 18}} + \frac{{3x + 4\sqrt x + 1}}{{2x – 3\sqrt x – 5}} – \frac{{8x – 15\sqrt x }}{{2x\sqrt x – 11x + 15\sqrt x }}\)
1) Rút gọn biểu thức
2) Tính \(A\) tại \(x = \sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 – \sqrt 5 }}\)
Bài 2:
1) Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) sao cho số \({n^4} – 3{n^2} + 1\) là số nguyên tố.
2) Tìm tất cả các số tự nhiên \(x; y\) sao cho \({x^2} + 16x + 1 = {y^2}\).
Bài 3:
1) Giải phương trình: \(\sqrt {x + 1} + 2x + 2 = x – 1 + \sqrt {1 – x} + 3\sqrt {1 – {x^2}} \)
2) Cho \(a, b, c\) không âm thỏa mãn \(a+b+c=3\).
a) Chứng minh rằng: \(\sqrt {{a^2} + 3a + 5} \ge \frac{{5a + 13}}{6}\)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\sqrt {{a^2} + 3ab + 5{b^2}} + \sqrt {{b^2} + 3bc + 5{c^2}} + \sqrt {{c^2} + 3ca + 5{a^2}} \)
Bài 4: Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Điểm E thuộc cạnh BC. Gọi F là giao điểm của tia AE và đường thẳng CD. G là giao điểm của DE và BF.
a) Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}}\)
b) Chứng minh \(CG \bot AF\)
c) Gọi H là giao điểm của OE và BF. Tìm vị trí của điểm E để diện tích tam giác HAD đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5:
Có bảy số 0 và một số 1 được điền vào 8 đỉnh của một hình lập phương (mỗi số điền vào 1 đỉnh). Mỗi bước thay đổi số là cộng thêm 1 vào các số ở cùng 1 cạnh nào đó của hình lập phương trên. Hỏi có thể thu được tất cả các số ở cả 8 đỉnh đều bằng nhau không? Vì sao?


Tham khảo đề thi vào lớp 9, thành phố Hà Nội TẠI ĐÂY
Tham khảo rất nhiều đề ôn tập TẠI ĐÂY
Tham khảo rất nhiều tài liệu về toán TẠI ĐÂY

LỞI GIẢI THAM KHẢO


Bài 4:
đề thi học sinh giỏi lớp 9 Quận Thanh Xuân 2017-2018
Câu a:
Ta có: \(\frac{{AB}}{{AE}} = \cos BAE;\frac{{AD}}{{AF}} = \sin DFA = \sin BAE\)
Do đó: \({\left( {\frac{{AB}}{{AE}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AD}}{{AF}}} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow A{B^2}\left( {\frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{F^2}}}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}}\).
Câu b:
Gọi K và L lần lượt là giao điểm của CG, DG với AB. Các bạn chứng minh AF vuông góc với CG theo giản đồ suy ngược sau:
\(AF \bot CG \leftarrow E\) là trực tâm tam giác \(ACK\)\( \leftarrow KE \bot AC \leftarrow KE//BD \leftarrow \frac{{KL}}{{BK}} = \frac{{EL}}{{DE}} \leftarrow \frac{{KL}}{{BK}} = \frac{{DC}}{{CF}}\)
Câu c:
Bước 1: Để làm được bài này, các bạn cần chứng minh \(CH \bot BF\) trước, có thể chứng minh bằng cách sau:
Gọi H’ là chân đường vuông góc hạ từ C xuống BF.
– Chứng minh \(H’O\) là tia phân giác của góc \( BHC\leftarrow \widehat {BH’O} = {45^o} \leftarrow \) tam giác \(BH’O\) đồng dạng với tam giác \(BDC\)\( \leftarrow BH’.BF = BO.BD\)
– Chứng minh \(H’E\) là tia phân giác của góc \(BH’C \leftarrow \frac{{BE}}{{EC}} = \frac{{BH’}}{{H’C}}\)
Từ hai điều trên suy ra \(H’, O, E\) thẳng hàng. Do đó \(H\) trùng \(H’\) suy ra \(CH \bot BF\).
Bước 2: Qua \(H\) kẻ đường vuông góc xuống \(AD\), cắt \(AD, BC\) lần lượt tại \(P\) và \(Q\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
\[2{S_{HAD}} = AD.HP = AD.\left( {HQ + PQ} \right) = A{D^2} + AD.HQ \le A{D^2} + AD.HM = \frac{3}{2}A{D^2}\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(E\) là trung điểm của \(BC\).