\(\)

Câu 1 (1,5 điểm)
                   a) Cho các biểu thức \(P(x)=\frac{1}{x}+\frac{9-x}{x+3\sqrt{x}},Q(x)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\) với \(x>0\). Tìm số nguyên \(x\) nhỏ nhất thỏa mãn \(\frac{P(x)}{Q(x)}\le \frac{1}{2}\).
                   b) Tính giá trị của biểu thức \(F=\frac{2{{x}^{4}}-21{{x}^{3}}+55{{x}^{2}}-32x-4012}{{{x}^{2}}-10x+20}\) khi \(x=5-\sqrt{3}\)
Câu 2 (2,0 điểm)
                   a) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \((P):y={{x}^{2}}\), đường thẳng \(d\) có hệ số góc \(k\) và đi qua điểm \(M(0;1)\). Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(k,(d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\ge 2\).
                   b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align}
& {{x}^{3}}+{{y}^{3}}=9 \\
& {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=x+4y \\
\end{align} \right.\)
Câu 3 (1,5 điểm) Cho phương trình \({{x}^{2}}-2\left(m+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}+{{m}^{2}}-m-2=0\) (1) (\(x\) là ẩn số).
                   a) Giải phương trình (1) khi \(m=0\)
                   b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.
Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn \((O)\) có tâm \(O\) và hai điểm \(C, D\) trên \((O)\) sao cho ba điểm \(C, O, D\) không thẳng hàng. Gọi \(Ct\) là tia đối của tia \(CD, M\) là điểm tùy ý trên \(Ct, M\) khác \(C\). Qua \(M\) kẻ các tiếp tuyến \(MA, MB\) với đường tròn \((O)\) (\(A\) và \(B\) là các tiếp điểm, \(B\) thuộc cung nhỏ \(\overset\frown{CD}\)). Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD, H\) là giao điểm của đường thẳng \(MO\) và đường thẳng \(AB\).
                   a) Chứng minh rằng tứ giác \(MAIB\) nội tiếp
                   b) Chứng minh rằng đường thẳng \(AB\) đi qua một điểm cố định khi \(M\) di động trên tia \(Ct\).
                   c) Chứng minh \(\frac{MD}{MC}=\frac{H{{A}^{2}}}{H{{C}^{2}}}\).
Câu 5 (2,0 điểm)
                   a) Cho \(a,b,c\) là các số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(E=\frac{{{a}^{2}}}{a+b}+\frac{{{b}^{2}}}{b+c}+\frac{{{c}^{2}}}{c+a}\)
                   b) Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) sao cho \({{n}^{2}}+{{3}^{n}}\) là một số chính phương.

———–Hết———-