Câu I (3,5 điểm) \(\)

        1) Giải hệ phương trình \[\left\{\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} – xy = 1\\x + {x^2}y = 2{y^3}\end{array} \right.\]

        2) Giải phương trình \[2\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} = \left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {1 – x} } \right)\left( {2 – \sqrt {1 – {x^2}} } \right)\]

Câu II (2,5 điểm)

        1) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương \(x, y\) thỏa mãn đẳng thức \[12{x^2} + 26xy + 15{y^2} = 4617\]

        2) Với \(a, b\) là các số thực dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[M = \left( {a + b} \right)\left( {\frac{1}{{{a^3} + b}} + \frac{1}{{{b^3} + a}}} \right) – \frac{1}{{ab}}\]

Câu III (3,0 điểm)

        Cho hình thoi \(ABCD\) với \(\widehat {BAD} < {90^o}\). Đường tròn tâm \(I\) nội tiếp tam giác \(ABD\) tiếp xúc với \(BD, BA\) lần lượt tại \(J, L\). Trên đường thẳng \(LJ\) lấy điểm \(K\) sao cho \(BK\) song song với \(ID\).

        1) Chứng minh rằng \(\widehat {CBK} = \widehat {ABI}\)

        2) Chứng minh \(KC \bot KB\)

        3) Chứng minh rằng 4 điểm \(C, K, I, L\) cùng nằm trên 1 đường tròn.

Câu IV (1,0 điểm)

        Tìm hợp số nguyên dương \(n\) sao cho tồn tại một cách sắp xếp các số \(1, 2, 3, …, n\) thành \({a_1},{a_2},…,{a_n}\) mà khi chia các số \({a_1},{a_1}{a_2},{a_1}{a_2}{a_3},…,{a_1}{a_2}…{a_n}\) cho \(n\), ta được các số dư đôi một khác nhau.

—Hết—

Hướng dẫn giải

Xem đề thi vào lớp 10, THPT chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội, vòng 1 tại đây