học toán cùng nobita

\(\)


Câu I (3,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{align}& x+y=\sqrt{x+3y} \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=3 \\ \end{align} \right.\]
2) Với \(a,b\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab+a+b=1\), chứng minh rằng: \[\frac{a}{1+{{a}^{2}}}+\frac{b}{1+{{b}^{2}}}=\frac{1+ab}{\sqrt{2\left( 1+{{a}^{2}} \right)\left( 1+{{b}^{2}} \right)}}\]
Câu II (2,5 điểm)
1) Giả sử \(p,q\) là hai số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức
\[p\left( p-1 \right)=q\left( {{q}^{2}}-1 \right) \qquad (*)\]
a) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương \(k\) sao cho \(p-1=kq,{{q}^{2}}-1=kp\).
b) Tìm tất cả các số nguyên tố \(p,q\) thỏa mãn đẳng thức \((*)\).
2) Với \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab+bc+ca+abc=2\), tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\[M=\frac{a+1}{{{a}^{2}}+2a+2}+\frac{b+1}{{{b}^{2}}+2b+2}+\frac{c+1}{{{c}^{2}}+2c+2}\]
Câu III (3 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn với \(AB < AC\), \(E, F\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(CA,AB\). Trung trực của đoạn thẳng \(EF\) cắt \(BC\) tại \(D\). Giả sử điểm \(P\) nằm trong \(\widehat{EAF}\) và nằm ngoài tam giác \(AEF\) sao cho \(\widehat{PEC}=\widehat{DEF}\) và \(\widehat{PFB}=\widehat{DFE}\). \(PA\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(PEF\) tại \(Q\) khác \(P\).
1) Chứng minh rằng \(\widehat{EQF}=\widehat{BAC}+\widehat{EDF}\)
2) Tiếp tuyến tại \(P\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(PEF\) cắt các đường thẳng \(CA, CB\) lần lượt tại \(M, N\). Chứng minh rằng bốn điểm \(C, M, B, N\) cùng nằm trên một đường tròn. Gọi đường tròn này là đường tròn \((K)\).
3) Chứng minh rằng đường tròn \((K)\) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\).
Câu IV (1 điểm)
Cho \(n\) số nguyên dương, \(n\ge 5\). Xét một đa giác lồi \(n\) cạnh. Người ta muốn kẻ một số đường chéo của đa giác mà các đường chéo này chia đa giác đã cho thành đúng \(k\) miền, mỗi miền là một ngũ giác lồi (hai miền bất kỳ không có điểm trong chung).
a. Chứng minh rằng ta có thể thực hiện được với \(n=2018,k=672\).
b. Với \(n=2017,k=672\), ta có thể thực hiện được không? Hãy giải thích.

Tham khảo thêm đề thi vào lớp 10, THPT chuyên Sư Phạm, vòng 2, năm 2017-2018


HƯỚNG DẪN GIẢI