PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG BẬC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

\(\)

Phưuơng pháp đồng bậc là phương pháp rất hữu hiệu trong việc chứng minh các bất đẳng thức, đặc biệt là các bất đẳng thức có điều kiện đối xứng 3 biến. Tư tưởng cơ bản của phương pháp này là đưa 2 vế của bất đẳng thức cần chứng minh về đồng bậc, rồi chuyển vế để chứng minh bất đẳng thức đồng bậc.
Phương pháp đồng bậc liên quan chặt chẽ tới các đa thức đồng bậc. Thí dụ hai đa thức sau đây là hai đa thức đồng bậc: \(A = {x^2}y + x{y^2} – 12{x^3} + {y^3}\) và \(B = {\left( {x + y} \right)^5} – 5{x^3}{y^2}\), vì khi phá ngoặc, từng đơn thức trong đa thức A có bậc là 3, còn từng đơn thức trong đa thức B có bậc là 5. Còn các đa thức như \(C = {x^4} + {y^4} – xy\) không phải là các đa thức đồng bậc.


Với các bất đẳng thức có điều kiện, ta có thể chuyển về bất đẳng thức dạng đồng bậc. Điều kiện cho trước thường là một hệ thức liên hệ giữa các biến số.
Bài toán 1: Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng: \[4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) – \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \ge 9\]

(Đề thi tuyển sinh 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc, năm học 2016-2017)

Hướng dẫn giải

      Đưa các số hạng về cùng bậc ba, bất đẳng thức đã cho tương đương với:
\[\begin{array}{l}
4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {a + b + c} \right) – 3\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^3}\\
\Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 4\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a + a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^3}
\end{array}\]
      Mặt khác \[{\left( {a + b + c} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a + a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}} \right) + 6abc\]
      Do đó bất đẳng thức đã cho tương đương với: \[{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a + a{b^2} + b{c^2} + c{a^2} \ge 6abc\]
      Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: \[{a^2}b + b{c^2} \ge 2abc;{b^2}c + c{a^2} \ge 2abc;{c^2}a + a{b^2} \ge 2abc\]
      Cộng vế với vế các bất đẳng thức này lại, ta có điều phải chứng minh.


Bài toán 2: Cho \(a, b, c\) là các số thực thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\). Chứng minh rằng: \[{a^3}\left( {b + c} \right) + {b^3}\left( {c + a} \right) + {c^3}\left( {a + b} \right) \ge 6\].

Hướng dẫn giải

Nhận xét rằng biểu thức trong vế trái có bậc là 4, do dó ta đưa vế phải về bậc 4. Từ giả thiết ta có \({\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} = 9\), do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:\[\begin{array}{l}
3\left( {{a^3}b + {a^3}c + {b^3}a + {b^3}c + {c^3}a + {c^3}b} \right) \le 2{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 2\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) + 4\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) – 3\left( {{a^3}b + {a^3}c + {b^3}c + {b^3}a + {c^3}a + {c^3}b} \right) \ge 0
\end{array}\]
Ta có: \[\begin{array}{l}
{a^4} + {b^4} + 4{a^2}{b^2} – 3ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\
= {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} + 2{a^2}{b^2} – 3ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\
= \left( {{a^2} + {b^2} – 2ab} \right)\left( {{a^2} + {b^2} – ab} \right)\\
= {\left( {a – b} \right)^2}\left( {{a^2} + {b^2} – ab} \right) \ge 0
\end{array}\]
Làm tương tự rồi cộng vế với vế lại, ta được điều phải chứng minh.


Bài toán 3: Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng: \[{a^3} + {b^3} + {c^3} + \frac{{15}}{4}abc \ge \frac{{27}}{4}\]

Hướng dẫn giải

      Nhận xét rằng vế trái bậc 3 nên ta đưa vế phải về bậc 3 để sử dụng phương pháp đồng bậc. Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
\[\begin{array}{l}
{a^3} + {b^3} + {c^3} + \frac{{15}}{4}abc \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{4}\\
\Leftrightarrow 4\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 15abc \ge {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\\
\Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc \ge {a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {c^2}a + c{a^2}\\
\Leftrightarrow \left( {{a^3} – {a^2}b – {a^2}c + abc} \right) + \left( {{b^3} – {b^2}c – {b^2}c + abc} \right) + \left( {{c^3} – {c^2}a – {c^2}b + abc} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow a\left( {a – b} \right)\left( {a – c} \right) + b\left( {b – a} \right)\left( {b – c} \right) + c\left( {c – a} \right)\left( {c – b} \right) \ge 0
\end{array}\]
Giả sử \(x \ge y \ge z > 0\), khi đó: \[x\left( {x – y} \right)\left( {x – z} \right) \ge y\left( {x – y} \right)\left( {y – z} \right) \Rightarrow x\left( {x – y} \right)\left( {x – z} \right) + y\left( {y – x} \right)\left( {y – z} \right) \ge 0\]
Mà \(z\left( {z – y} \right)\left( {z – x} \right) \ge 0\) nên ta có điều phải chứng minh.


Bài toán 4: Cho \(a, b, c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng: \[{a^2} + {b^2} + {c^2} + abc \ge 4\]

Hướng dẫn giải

Nhận xét

  • Vế trái của bất đẳng thức đã cho không đồng bậc, với \({a^2} + {b^2} + {c^2}\) bậc 2 trong khi \(abc\) bậc 3
  • Vế phải không đồng bậc với vế trái

      Vế trái của bất đẳng thức đã cho có bậc cao nhất là 3, ta tìm cách đưa tất cả các số hạng về bậc 3 để sử dụng phương pháp đồng bậc. Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
\[\begin{array}{l}
9\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 27abc \ge 4{\left( {a + b + c} \right)^3}\\
\Leftrightarrow 5\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 3abc \ge 3\left( {{a^2}b + {a^2}c + {b^2}c + {b^2}a + {c^2}a + {c^2}b} \right)
\end{array}\]
      Mặt khác, theo bất đẳng thức Schur, ta luôn có: \[{a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc \ge {a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {c^2}a + c{a^2}\]
      (Với bđt này, bạn có thể xem cách chứng minh ở bài toán 4)
      Do đó ta cần chứng minh \[\begin{array}{l}
4\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \ge 2\left( {{a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {c^2}a + c{a^2}} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {{a^3} – {a^2}b + {b^3} – {b^2}a} \right) + \left( {{b^3} – {b^2}c + {c^3} – {c^2}b} \right) + \left( {{c^3} – {c^2}a + {a^3} – {a^2}c} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {a – b} \right)^2}\left( {a + b} \right) + {\left( {b – c} \right)^2}\left( {b + c} \right) + {\left( {c – a} \right)^2}\left( {c + a} \right) \ge 0
\end{array}\]
      Từ đây suy ra điều phải chứng minh.


Bài toán 5: Cho \(a, b, c\) là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: \[ab + bc + ca – 2abc \le \frac{7}{{27}}\]

Hướng dẫn giải

      Đưa cả hai vế về cùng bậc 3 rồi sử dụng phương pháp đồng bậc, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \[\begin{array}{l}
\left( {ab + bc + ca} \right)\left( {a + b + c} \right) – 2abc \le \frac{7}{{27}}{\left( {a + b + c} \right)^3}\\
\Leftrightarrow 27\left( {{a^2}b + {a^2}c + {b^2}a + {b^2}c + {c^2}a + {c^2}b} \right) + 27abc \le 7\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 21\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\\
\Leftrightarrow 7\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 15abc \ge 6\left( {{a^2}b + {a^2}c + {b^2}a + {b^2}c + {c^2}a + {c^2}b} \right)
\end{array}\]
      Mặt khác ta có: \[{a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc \ge {a^2}b + a{b^2} + {b^2}c + b{c^2} + {c^2}a + c{a^2}\]
      Do đó ta chỉ cần chứng minh \[\begin{array}{l}
2\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \ge {a^2}b + {a^2}c + {b^2}a + {b^2}c + {c^2}a + {c^2}b\\
\Leftrightarrow {\left( {a – b} \right)^2}\left( {a + b} \right) + {\left( {b – c} \right)^2}\left( {b + c} \right) + {\left( {c – a} \right)^2}\left( {c + a} \right) \ge 0
\end{array}\]
      Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 6: Cho các số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\). Chứng minh rằng: \[\frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} \ge 3\]

Hướng dẫn giải

      Nhận xét các biểu thức của vế trái có bậc 1, trong khi đó các biểu thức của vế phải có bậc 0, do đó ta tìm cách đưa về dạng cùng bậc để sử dụng phương pháp đồng bậc. Bình phương 2 vế của bất đẳng thức đã cho, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\[\begin{array}{l}
\frac{{{a^2}{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{c^2}{a^2}}}{{{b^2}}} + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 9\\
\Leftrightarrow \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{c^2}{a^2}}}{{{b^2}}} + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\
\Leftrightarrow \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{c^2}{a^2}}}{{{b^2}}} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}
\end{array}\]
Ta có: \(\frac{{{a^2}{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{a^2}}} \ge 2{b^2}\). Làm tương tự các bất đẳng thức như vậy rồi cộng vế, ta được điều phải chứng minh.


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=1\). Chứng minh rằng: \[5\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \le 6\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 1\]
Bài 2: Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=1\). Chứng minh rằng: \[{a^3} + {b^3} + {c^3} + \frac{{15}}{4}abc \ge \frac{1}{4}\]
Bài 3: Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=1\). Chứng minh rằng: \[7\left( {ab + bc + ca} \right) \le 2 + 9abc\]
Bài 4: Cho các số thực dương \(a, b, c\) có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: \[\frac{{{a^2}}}{{a + {b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + {c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + {a^2}}} \ge \frac{3}{2}\]
Bài 5: Cho \(a, b, c\) là các số không âm thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\). Chứng minh rằng: \[{a^3} + {b^3} + {c^3} \ge a + b + c\]
Bài 6: Cho \(a, b, c\) là các số thực dương có tổng bằng 2. Chứng minh rằng: \[{a^4} + {b^4} + {c^4} + abc \ge {a^3} + {b^3} + {c^3}\]
Bài 7: Cho \(a, b, c\) là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: \[2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 3abc \le 9\]
Bài 8: Cho \(a, b, c\) là các số thực dương có tổng bằng 2. Chứng minh rằng: \[\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{2}{3}\]
Bài 9: Cho các số thực dương \(a, b, c\) có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: \[\frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^2}}} \ge 1\]
Bài 10: Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\). Chứng minh rằng: \[\frac{{2{a^2}}}{{a + {b^2}}} + \frac{{2{b^2}}}{{b + {c^2}}} + \frac{{2{c^2}}}{{c + {a^2}}} \ge a + b + c\]


Xem rất nhiều đề ôn tập ôn thi học sinh giỏi và ôn thi THPT chuyên TẠI ĐÂY
Xem rất nhiều tài liệu tham khảo TẠI ĐÂY