TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Trong bài này, ta sẽ ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu (tức là tính đồng biến và tính nghịch biến) của hàm số. \(\)

Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến trong sách giáo khoa Đại Số lớp 10 nâng cao

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f là hàm số xác định trên K.

Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu:

\[\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\]

Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu:

\[\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\]

Nói một cách khác, nếu hàm số f xác định trên K thì

Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi với x tùy ý thuộc K, ta có:

\(\frac{{f(x + \Delta x) – f(x)}}{{\Delta x}} > 0\) với mọi \(\Delta x \ne 0\) mà \(x + \Delta x \in K\).

Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi với x tùy ý thuộc K, ta có:

\(\frac{{f(x + \Delta x) – f(x)}}{{\Delta x}} < 0\) với mọi \(\Delta x \ne 0\) mà \(x + \Delta x \in K\).

Từ đó, người ta chứng minh được điều sau đây:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì \(f'(x) \ge 0\) với mọi \(x \in I\).

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì \(f'(x) \le 0\) với mọi \(x \in I\).

Đảo lại, ta có thể chứng minh được:

ĐỊNH LÝ

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \in I\) thì hàm số f đồng biến trên khoảng I.

b) Nếu \(f'(x) < 0\) với mọi \(x \in I\) thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I.

c) Nếu \(f'(x) = 0\) với mọi \(x \in I\) thì hàm số f không đổi trên khoảng I.

Định lý trên cho ta một điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng.

CHÚ Ý

Khoảng I trong định lý trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải bổ sung giả thiết: “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm \(f'(x) > 0\) trên khoảng (a;b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b].

Người ta thường diễn đạt khẳng định này qua bảng biến thiên như sau:

tính đơn điệu của hàm số

MỞ RỘNG

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Nếu \(f'(x) \ge 0\) với mọi \(x \in I\) (hoặc \(f'(x) \le 0\) với mọi \(x \in I\)) và \(f'(x) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I.

VÍ DỤ LUYỆN TẬP

(Bài 9, sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, trang 9)

Chứng minh rằng: \(\sin x + \tan x > 2x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Hướng dẫn

Xét hàm số \(f(x) = \sin x + \tan x – 2x\). Ta có:

\[f'(x) = \cos x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 2 = \frac{{{{\cos }^3}x – 2{{\cos }^2}x + 1}}{{{{\cos }^2}x}}\]

\[ = \frac{{\left( {\cos x – 1} \right)\left( {{{\cos }^2}x – \cos x – 1} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{\left( {\cos x – 1} \right)\left( { – \cos x – {{\sin }^2}x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}\]

Rõ ràng \(f(x)\) là hàm liên tục trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và có đạo hàm trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\), đồng thời \(f'(x) \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\), do đó \(f(x)\) đồng biến trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Do đó \[f(x) > f(0) = 0,{\rm{ }}\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\]