\(\)

Bài I (2,0 điểm) 

  1. Giải hệ phương trình \({x^4} – 2{x^3} + x – \sqrt {2\left( {{x^2} – x} \right)} = 0\).
  2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2y – 4x = 0\\4{x^2} – 4x{y^2} + {y^4} – 2y + 4 = 0\end{array} \right.\)

Bài II (2,0 điểm)

  1. Cho các số thực \(a, b, c\) đôi một khác nhau thỏa mãn \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\) và \(abc \ne 0\). Tính \(P = \frac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}} + \frac{{b{c^2}}}{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}} + \frac{{c{a^2}}}{{{c^2} + {a^2} – {b^2}}}\)
  2. Tìm các cặp số tự nhiên \((x, y)\) thỏa mãn \({2^x}.{x^2} = 9{y^2} + 6y + 16\)

Bài III (2,0 điểm)

  1. Cho các số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh rằng: \[\frac{{2{a^2}}}{{a + {b^2}}} + \frac{{2{b^2}}}{{b + {c^2}}} + \frac{{2{c^2}}}{{c + {a^2}}} \ge a + b + c\]
  2. Cho số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(2 + 2\sqrt {12{n^2} + 1} \) là số nguyên. Chứng minh rằng \(2 + 2\sqrt {12{n^2} + 1} \) là số chính phương.

Bài IV (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn \(ABC\) có \(AB < AC\) và nội tiếp trong đường tròn \((O)\). Các đường cao \(BB’, CC’\) cắt nhau tại điểm \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tia \(MH\) cắt đường tròn\((O)\) tại điểm \(P\)

       1. Chứng minh hai tam giác \(BPC’\) và \(CPB’\) đồng dạng.

       2. Các đường phân giác của các góc \(\widehat {BPC’},\widehat {CPB’}\) lần lượt cắt \(AB, AC\) tại các điểm \(E\) và \(F\). Gọi \(O’\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\); \(K\) là giao điểm của \(HM\) và \(AO’\).

             a) Chứng minh rằng tứ giác \(PEKF\) nội tiếp.

             b) Chứng minh các tiếp tuyến tại \(E\) và \(F\) của đường tròn\((O’)\) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn \((O)\).

Bài V (1,0 điểm)

          Cho 2017 số hữu tỷ dương được viết trên một đường tròn. Chứng minh tồn tại hai số được viết cạnh nhau trên đường tròn sao cho khi bỏ hai số đó thì 2015 số còn lại không thể chia thành hai nhóm mà tổng các số ở mỗi nhóm bằng nhau.

—Hết—

HƯỚNG DẪN GIẢI