\(\)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức:  \(P=\frac{{{a}^{3}}-a-2b-\frac{{{b}^{2}}}{a}}{\left( 1-\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{b}{{{a}^{2}}}} \right)\left( a+\sqrt{a+b} \right)}:\left( \frac{{{a}^{3}}+{{a}^{2}}+ab+{{a}^{2}}b}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}+\frac{b}{a-b} \right)\) với \(a,b>0\), \(a\ne b\), \(a+b\ne {{a}^{2}}\).

  1. Chứng minh rằng \(P=a-b\).
  2. Tìm a, b biết \(P=1\) và \({{a}^{3}}-{{b}^{3}}=7\).

Câu 2 (1,0 điểm). Giả sử x, y là hai số thực phân biệt thỏa mãn \(\frac{1}{{{x}^{2}}+1}+\frac{1}{{{y}^{2}}+1}=\frac{2}{xy+1}\).

Tính giá trị biểu thức: \(P=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}+\frac{1}{{{y}^{2}}+1}+\frac{2}{xy+1}\)

Câu 3 (2,0 điểm). Cho Parabol \((P):y={{x}^{2}}\) và đường thẳng \((d):y=-2ax-4a\) (với a là tham số)

  1. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) khi \(a=-\frac{1}{2}\).
  2. Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|=3\).

Câu 4 (1,0 điểm). Anh Nam đi xe đạp từ A đến C. Trên quãng đường AB ban đầu (B nằm giữa A và C) anh Nam đi với vận tốc không đổi là a (km/h) và thời gian đi từ A đến B là 1,5 giờ. Trên quãng đường BC còn lại, anh Nam đi chậm dần đều với vận tốc tại thời điểm t (tính bằng giờ) kể từ B là \(v=-8t+a\) (km/h). Quãng đường đi được từ B đến thời điểm t đó là \(S=-4{{t}^{2}}+at\). Tính quãng đường AB biết rằng đến C xe dừng hẳng và quãng đường BC dài 16 km.

Câu 5 (3,0 điểm). Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn. Các tiếp tuyến của (O) tại các điểm B, C cắt nhau tại điểm P. Gọi D, E tương ứng là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống các đường thẳng AB, AC và M là trung điểm cạnh BC.

  1. Chứng minh \(\widehat {MEP} = \widehat {MDP}\)
  2. Giả sử B, C cố định và A chạy trên (O) sao cho tam giác ABC luôn là tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
  3. Khi tam giác ABC là tam giác đều. Hãy tính diện tích tam giác ADE theo R.

Câu 6 (1,0 điểm). Các số thực không âm \({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{9}}\) thỏa mãn:

\[\left\{\begin{align}&{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+…+{{x}_{9}}=10\\&{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+…+9{{x}_{9}}=18.\\\end{align}\right.\]

Chứng minh \(1.19{{x}_{1}}+2.18{{x}_{2}}+…+9.11{{x}_{9}}\ge 270\), đẳng thức xảy ra khi nào?

 

—Hết—

 

HƯỚNG DẪN GIẢI