\(\)

Câu 1 (1,5 điểm) Cho các số thực dương \(a, b, c, d\)Chứng minh rằng trong 4 số: \[{a^2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c};{b^2} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d};{c^2} + \frac{1}{d} + \frac{1}{a};{d^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\] có ít nhất một số không nhỏ hơn 3.

Câu 2 (1,5 điểm) Giải phương trình: \[\sqrt {{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2} + 4{{\left( {x + 1} \right)}^2}} – \sqrt {{x^2} + {{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}} = 2017\].

Câu 3 (3 điểm)

  1. Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn \({a^2} = {b^3},{c^3} = {d^4}\) và \(a = d + 98\).
  2. Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số \(x – \sqrt 2 ;{x^2} + 2\sqrt 2 ;x – \frac{1}{x};x + \frac{1}{x}\), có đúng một số không phải số nguyên.

Câu 4 (3 điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm M nằm ngoài (O). Kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khác A, C khác B). Gọi I và K lần lượt là trung điểm của MA, MC. Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D.

  1. Chứng minh \(K{O^2} – K{M^2} = {R^2}\)
  2. Chứng minh tứ giác \(BCDM\) nội tiếp.
  3. Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng \(MD\) với đường tròn (O) và N là trung điểm của KE. Đường thẳng KE cắt (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng bốn điểm \(I, A, N, F\) cùng nằm trên một đường tròn.

Câu 5 (1 điểm) Xét hình vẽ bên:

     Ta viết các số 1, 2, 3, …, 9 vào vị trí của 9 điểm trong hình vẽ bên sao cho mỗi số chỉ xuất hiện đúng một lần và tổng 3 số trên mỗi cạnh của tam giác bằng 18. Hai cách viết được gọi là như nhau nếu bộ số được viết ở các điểm \((A; B; C; D; E; F; G; H; K)\) của mỗi cách là trùng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách viết phân biệt? Tại sao?

 

—Hết—

 

HƯỚNG DẪN GIẢI