Phần 1: Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xây dựng cách tìm công thức tổng quát của dãy số có công thức truy hồi đặc biệt

Trước hết, chúng ta nhắc lại một số kết quả đã biết về cấp số cộng, cấp số nhân \(\)

1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân

1.1 Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Định nghĩa: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tính chất \({u_n} = {u_{n – 1}} + d\)  \(\forall n \ge 2\), \(d\) là một số thực không đổi gọi là 1 cấp số cộng.

\(d\) gọi là công sai của CSC; \({u_1}\) là số hạng đầu, \({u_n}\) là số hạng tổng quát của cấp số.

Định lý 1: Cho CSC \(({u_n})\), ta có: \({u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d\)

Định lý 2: Gọi \({S_n}\) là tổng của \(n\) số hạng đầu của CSC có công sai \(d\). Ta có: \[{S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right]\]

1.2 Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Định nghĩa: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tính chất \({u_{n + 1}} = q.{u_n}\)  \(\forall n \in {N^*}\) gọi là một cấp số nhân với công bội \(q\).

Định lý 3: Cho CSN \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q\). Ta có: \({u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}\).

Định lý 4: Gọi \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu của CSN \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q\). Ta có: \[{S_n} = {u_1}.\frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}\]

2. Áp dụng CSC, CSN để tìm công thức tổng quát của dãy số dạng đặc biệt

Bài 1: Xác định công thức tổng quát của dãy số \({u_n}\) được xác định bởi \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = – 2\\{u_n} = 3{u_{n – 1}} – 1\end{array} \right.\forall n \ge 2\]

Hướng dẫn giải

Trong bài toán này chúng ta gặp khó khăn vì \(\left( {{u_n}} \right)\) không phải là CSC cũng như CSN. Hằng số -1 ở vế trái làm ta gặp khó khăn. Ta tìm cách làm mất hằng số -1 đi và chuyển về dãy số CSN

Ta thấy: \(- 1 = – \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\) nên ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau: \[{u_n} – \frac{1}{2} = 3{u_{n – 1}} – \frac{3}{2} = 3\left( {{u_{n – 1}} – \frac{1}{2}} \right)\]

Đặt \({v_n} = {u_n} – \frac{1}{2} \Rightarrow {v_1} = – \frac{5}{2}\) và \({v_n} = 3{v_{n – 1}}\) với mọi \(n \ge 2\) . Do đó dãy \(({v_n})\) là CSN công bội \(q=3\).  \[ \Rightarrow {v_n} = {v_1}.{q^{n – 1}} = – \frac{5}{2}{.3^{n – 1}} \Rightarrow {u_n} = {v_n} + \frac{1}{2} = – \frac{5}{2}{.3^n} + \frac{1}{2}\]

Nhận xét: Mấu chốt của cách làm trên là ta phân tích \(- 1 = – \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\) để chuyển về công thức truy hồi theo dãy \({v_n}\).  Tuy nhiên việc làm trên có vẻ không tự nhiên lắm. Câu hỏi đặt ra là làm thế nào để ta biết cách phân tích \(- 1 = – \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\)? Vậy trước hết các bạn hãy nghiên cứu 1 bài toán tổng quát thế này nhé:

Xác định công thức tổng quát của dãy số \[\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {x_0}\\{u_n} = a{u_{n – 1}} + b\end{array} \right.\forall n \ge 2\]

Phương pháp giải: 

    • Nếu \(a=1\) thì dãy \({u_n}\) là CSC có công sai \(d=b\) nên \({u_n} = {x_0} + \left( {n – 1} \right)b\)
    • Nếu \(a \ne 1\), ta tìm hằng số \(c\) sao cho \({u_n} + c = a\left( {{u_{n – 1}} + c} \right) \Leftrightarrow {u_n} = a{u_{n – 1}} + ac – c\), khi đó \(ac – c = b \Rightarrow c = \frac{b}{{a – 1}}\). Khi đó công thức truy hồi của dãy được viết như sau: \({u_n} + \frac{b}{{a – 1}} = a\left( {{u_{n – 1}} + \frac{b}{{a – 1}}} \right) \Rightarrow {u_n} + \frac{b}{{a – 1}} = \left( {{u_1} + \frac{b}{{a – 1}}} \right).{a^{n – 1}}\). Hay \[{u_n} = {u_1}{a^{n – 1}} + b\frac{{{a^{n – 1}} – 1}}{{a – 1}}\]

Có thể thấy Bài 1 là 1 trường hợp đặc biệt của bài toán trên.

Bài 2: Xác định công thức tổng quát của dãy số \({u_n}\) được xác định bởi \[\left\{\begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = 2{u_{n – 1}} + 3n – 1\end{array} \right.\forall n \ge 2\]

Hướng dẫn giải

Để tìm công thức tổng quát của dãy số, ta tìm cách làm mất \(3n-1\) để chuyển về dãy số là một CSN. Muốn làm vậy, ta viết: \[3n – 1 = – 3n – 5 + 2\left[ {3\left( {n – 1} \right) + 5} \right]\]

Khi đó, công thức truy hồi được viết như sau: \[{u_n} + 3n + 5 = 2\left[ {{u_{n – 1}} + 3\left( {n – 1} \right) + 5} \right]\]

Đặt \({v_n} = {u_n} + 3n + 5\), ta có: \({v_1} = 10,{v_n} = 2{v_{n – 1}}\) \[ \Rightarrow {v_n} = {v_1}{.2^{n – 1}} = {10.2^{n – 1}} \Rightarrow {u_n} = {v_n} – 3n – 5 = {5.2^n} – 3n – 5\]

Nhận xét:

Các bạn sẽ thắc mắc tại sao ta lại biết cách phân tích \(3n – 1 = – 3n – 5 + 2\left[ {3\left( {n – 1} \right) + 5} \right]\) phải không ạ? Đừng lo, mình sẽ chỉ cho các bạn, đơn giản thôi:

Mục đích của ta là đưa về dãy số CSN, do đó ta tìm các hằng số \(a, b\) thỏa mãn: \[{u_n} + an + b = 2\left[ {{u_{n – 1}} + a\left( {n – 1} \right) + b} \right]\]

Do đó \(a, b\) phải thỏa mãn: \[2\left[ {a\left( {n – 1} \right) + b} \right] – \left( {an + b} \right) = 3n – 1 \Leftrightarrow an + b – 2a = 3n – 1\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b – 2a = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a = 3\\b = 5\end{array} \right.\]

Tổng quát: Xác định công thức tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {x_0}\\{u_n} = a{u_{n – 1}} + f(n)\end{array} \right.\), trong đó \(f(n)\) là 1 đa thức bậc \(k\) theo \(n\); \(a\) là hằng số.

Phương pháp giải: Ta phân tích \(f(n) = g(n) – ag(n – 1)\) với \(g(n)\) là một đa thức theo \(n\). Khi đó \[{u_n} = a{u_{n – 1}} + g(n) – ag(n – 1) \Rightarrow {u_n} – g(n) = a\left[ {{u_{n – 1}} – g(n – 1)} \right]\]

Đặt \({v_n} = {u_n} – g(n)\) thì \({v_n}\) là cấp số nhân.

Lưu ý: Nếu \(a=1\), ta chọn \(g(n)\) là đa thức bậc \(k+1\) có hệ số tự do bằng 0, còn nếu \(a \ne 1\), ta chọn \(g(n)\) là đa thức bậc \(k\).

Để cho rõ hơn về phương pháp làm, ta luyện tập thêm 1 bài tập sau:

Bài 3: Xác định công thức tổng quát của dãy số \({u_n}\) được xác định bởi \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = {u_{n – 1}} + 2n + 1\end{array} \right.\forall n \ge 2\]

Hướng dẫn giải:

Ta cần tìm \(g(n)\) sao cho \(g(n) – g(n – 1) = 2n + 1\). Hệ số của \({u_{n – 1}}\) là 1 nên ta tìm \(g(n)\) là đa thức bậc 2 với hệ số tự do bằng 0.

Đặt \(g(n) = a{n^2} + bn \Rightarrow g(n – 1) = a{\left( {n – 1} \right)^2} + b\left( {n – 1} \right)\)

Đồng nhất hệ số \(g(n) – g(n – 1) = 2n + 1\), ta được \(a=1, b=2\). Vậy \[2n + 1 = {n^2} + 2n – \left[ {{{\left( {n – 1} \right)}^2} + 2\left( {n – 1} \right)} \right]\]

Thế vào, ta có: \[{u_n} = {u_{n – 1}} + g(n) – g(n – 1) \Rightarrow {u_n} – g(n) = {u_{n – 1}} – g(n – 1)\]

Đặt \({v_n} = {u_n} – g(n)\) thì \({v_n} = {v_{n – 1}} = {v_1} = {u_1} – g(1) = 2 – 3 = – 1\)

Do đó: \({u_n} = {v_n} + g(n) = – 1 + {n^2} + 2n\)

Bài 4: Xác định công thức tổng quát của dãy số \({u_n}\) được xác định bởi  \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = 3{u_{n – 1}} + {2^n}\end{array} \right.\]

Hướng dẫn giải

Tương tự như hướng làm của các lời giải trên, ta tìm số \(a\) để \[{u_n} + a{.2^n} = 3\left( {{u_{n – 1}} + a{{.2}^{n – 1}}} \right)\]

Khi đó: \(3a{.2^{n – 1}} – a{.2^n} = {2^n} \Leftrightarrow a = 2\).

Đặt \({v_n} = {u_n} + {2.2^n}\) thì \({v_n}\) là cấp số nhân với công bội bằng 3.

Bài 5: Xác định công thức tổng quát của dãy số \({u_n}\) được xác định bởi \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = 2{u_{n – 1}} + {2^n}\end{array} \right.\]

Nhận xét

Các bạn có nhận ra là nếu ta làm như Bài 4 sẽ gặp trục trặc và không giải quyết được không ạ? Nếu bạn chưa nhận ra thì bắt tay vào giải sẽ thấy liền. Sự khác biệt giữa bài này và bài 4 là, nếu ta cho công thức truy hồi \({u_n} = a{u_{n – 1}} + b.{c^n}\) thì ở bài 4, hệ số \(a \ne c\), còn ở bài này, \(a=c\). Do đó ta cần có 1 hướng đi khác.

Hướng dẫn giải

Ta có \({2^n} = n{.2^n} – 2\left( {n – 1} \right){.2^{n – 1}}\). Do đó: \[{u_n} = 2{u_{n – 1}} + n{.2^n} – 2\left( {n – 1} \right){.2^{n – 1}} \Leftrightarrow {u_n} – n{.2^n} = 2\left[ {{u_{n – 1}} – \left( {n – 1} \right){{.2}^{n – 1}}} \right]\]

Đặt \({v_n} = {u_n} – n{.2^n}\) thì \({v_n}\) là 1 cấp số nhân.

Các bạn ơi, vì giới hạn bài viết nên mình xin kết thúc chuyên đề này ở đây, các bạn đón xem các phần tiếp theo bên dưới nhé.

Nếu có thắc mắc hoặc khó khăn gì cứ việc comment bên dưới, mình sẽ nhiệt tình giúp đỡ.

Tham khảo: Đề kiểm tra giữa học kỳ 1, toán 11, trường THPT Chu Văn An Hà Nội, 2017